Titre du document Dokumenttitel Starke Annäherung der fraktionierten Brownschen Bewegung durch gleitende Mittelung einfacher zufälliger Wanderungen Auteur (s) Autor (en) Zugehörigkeit (en) du ou des auteurs Autor / en Zugehörigkeit (en) (1) Department of Mathematics, Technical Universität Budapest, Egry u 20-22, H p. V em, Budapest, 1521, HONGRIE Rsum Abstract Die gebrochene Brownsche Bewegung ist eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Brownschen Bewegung, die vor allem dann angewendet wird, wenn eine weitreichende Abhängigkeit erforderlich ist. Seine explizite Einleitung ist auf Mandelbrot und van Ness (SIAM Rev. 10 (1968) 422) als selbstähnlicher Gaußscher Prozeß W (H) (t) mit stationären Inkrementen zurückzuführen. Hier bedeutet Selbstähnlichkeit, daß H (0, 1) der Hurst-Parameter der gebrochenen Brownschen Bewegung ist (a - H W (H) (at): t0) d - (W (H) (t): t0) F. B. Knight gab eine Konstruktion der gewöhnlichen Brownschen Bewegung als eine Grenze von einfachen zufälligen Wanderungen im Jahre 1961. Später wurde seine Methode von Rvsz (Random Walk in Random und Non-Random Environments, World Scientific, Singapur, 1990) und dann von Szabados (Studia Sci Math. Hung. 31 (1996) 249 & ndash; 297). Dieser Ansatz ist ganz natürlich und elementar und kann als solche auf allgemeinere Situationen ausgedehnt werden. Basierend hierzu verwenden wir die Bewegungsdurchschnitte einer geeigneten verschachtelten Folge einfacher zufälliger Wanderungen, die fast sicher gleichmäßig auf die fraktionierte Brownsche Bewegung bei Vertiefungen konvergieren, wenn H (14, 1). Die Konvergenzrate ist in diesem Fall O (N - min (H-14,1-4) logN), wobei N die Anzahl der zur Approximation verwendeten Schritte ist. Wenn die genaueren (aber auch komplizierteren) Komls et al. (1975, 1976) wird die Annäherung stattdessen verwendet, um zufällige Wanderungen in eine gewöhnliche Brownsche Bewegung einzubetten, dann konvergiert die gleiche Art von Bewegungsdurchschnitten fast sicher gleichmäßig auf die fraktionierte Brownsche Bewegung auf Kompaktkörpern für jedes H (0, 1). Darüber hinaus wird die Konvergenzrate als das bestmögliche O (N-H log N) angenommen, obwohl hier nur O (N - min (H, 12) logN) bewiesen ist. Revue Zeitschrift Titel Quelle Quelle 2001, vol. 92, no 1, pp. 31-60 (17 Lit.) Sprache Sprache Editeur Herausgeber Elsevier, Amsterdam, PAYS-BAS (1973) (Revue) Mots-cls anglais Englisch KeywordsStarting aus der gleitenden mittleren (MA) Integralrepräsentation der fraktionierten Brownschen (FBM) wird die Klasse der gebrochenen LxE9vy-Prozesse (FLPs) eingeführt, indem die Brownsche Bewegung durch einen allgemeinen LxE9vy-Prozess mit nullter Mittelwert, endlicher Varianz und keiner Brownschen Komponente ersetzt wird. Wir stellen verschiedene Methoden zur Konstruktion von FLPs vor und untersuchen die Eigenschaften von zweiter Ordnung und Probeweg. FLPs haben die gleiche Struktur zweiter Ordnung wie FBM und sind, abhängig von der LxE9vy-Maßnahme, nicht immer semimartingales. Wir betrachten Integrale in Bezug auf FLPs und MA-Prozesse mit der Long Memory-Eigenschaft. Insbesondere zeigen wir, dass das LxE9vy-getriebene MA-Verfahren mit fraktional integriertem Kernel mit dem MA-Prozess mit dem entsprechenden (nicht fraktionell integrierten) Kern übereinstimmt und von dem entsprechenden FLP angesteuert wird. Artikel Informationen Datum Erstes verfügbares in Projekt Euclid: 4 Dezember 2006 Permanenter Link zu diesem Dokument projecteuclid. orgeuclid. bj1165269152 Digitale Objektidentifikation doi: 10.3150bj1165269152 Marquardt, Tina. Fraktionale LxE9vy-Prozesse mit einer Anwendung auf lange Speicher gleitende durchschnittliche Prozesse. Bernoulli 12 (2006), Nr. 6, 1099 & ndash; 1265. Doi: 10,3150bj1165269152. Projecteuclid. orgeuclid. bj1165269152. Export citation Referenzen 1 Barndorff-Nielsen, O. E. Und Shephard, N. (2001) Nicht-Gaußsche Ornstein-Uhlenbeck-basierte Modelle und einige ihrer Anwendungen in der Finanzökonomie (mit Diskussion). J. Roy. Statist. Soc. Ser. B, 63, 167 & ndash; 241. 2 Benassi, A. Cohen, S. und Istas, J. (2004) Auf Rauheitsindizes für Bruchfelder. Bernoulli, 10, 357-373.3 Bender, C. (2003) Integration in Bezug auf eine gebrochene Brownsche Bewegung und verwandte Marktmodelle. Dissertation, Universität Konstanz. 4 Brockwell, P. J. (2001) LxE9vy-driven CARMA-Verfahren. Ann. Inst. Statist. Mathe. 52, 1-18. 5 Brockwell, P. J. (2004) Darstellungen von Dauer-ARMA-Prozessen. J. Appl. Probab 41A, 375-382.6 Brockwell, P. J. und Marquardt, T. (2005) LxE9vy getriebene und fraktionierte integrierte ARMA-Prozesse mit kontinuierlichem Zeitparameter. Statist. Sinica, 15, 477 & ndash; 494. 7 Cohen, S. Lacaux, C. und Ledoux, M. 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Probab Theorie verwandte Felder, 111, 333-374.Strong Annäherung der fraktionalen Brown'sche Bewegung durch gleitende Mittelwerte von einfachen zufälligen Wanderungen Pl Rvsz anlässlich seines 65. Geburtstages Tams Szabados Department für Mathematik, Technische Universität Budapest, Egry u 20-22, H P. V em. Budapest, 1521, Ungarn erhielt 19. Dezember 1999. Überarbeitet am 29. August 2000. Angenommen am 4. September 2000. Verfügbar am 9. Februar 2001. Die fraktionierte Brownsche Bewegung ist eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Brownschen Bewegung, die vor allem dann angewendet wird, wenn eine weitreichende Abhängigkeit erforderlich ist. Seine explizite Einleitung ist auf Mandelbrot und van Ness (SIAM Rev. 10 (1968) 422) als selbstähnlicher Gaußscher Prozeß W (H) (t) mit stationären Inkrementen zurückzuführen. Hier bedeutet Selbstähnlichkeit, daß H (0,1) der Hurst-Parameter der gebrochenen Brownschen Bewegung ist. F. B. Knight gab eine Konstruktion der gewöhnlichen Brownschen Bewegung als eine Grenze von einfachen zufälligen Wanderungen im Jahre 1961. Später wurde seine Methode von Rvsz (Random Walk in Random und Non-Random Environments, World Scientific, Singapur, 1990) und dann von Szabados (Studia Sci Math. Hung., 31 (1996), 249297). Dieser Ansatz ist ganz natürlich und elementar und kann als solche auf allgemeinere Situationen ausgedehnt werden. Basierend hierzu verwenden wir die gleitenden Mittelwerte einer geeigneten verschachtelten Folge einfacher zufälliger Wanderungen, die fast sicher gleichmäßig auf die fraktionierte Brown'sche Bewegung bei Kompakten zusammenlaufen, wenn. Die Konvergenzrate, die in diesem Fall bewiesen wird, ist, wobei N die Anzahl der für die Näherung verwendeten Schritte ist. Wenn die genaueren (aber auch komplizierteren) Komls et al. (1975,1976) Näherung wird stattdessen verwendet, um zufällige Wanderungen in eine gewöhnliche Brownsche Bewegung einzubetten, dann konvergieren dieselbe Art von Bewegungsdurchschnitten fast sicher gleichmäßig auf die fraktionierte Brownsche Bewegung auf Kompaktkörpern für jedes H (0,1). Darüber hinaus wird die Konvergenzrate als die bestmögliche vermutet, obwohl hier nur bewiesen wird. Bruchteilige Brownsche Bewegung Pathwise-Konstruktion Starke Annäherung Zufälliger Weg Beweglicher Durchschnitt 1 Bruchteilige Brownsche Bewegung Die fraktionierte Brownsche Bewegung (fBM) ist eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Brownschen Bewegung (BM), die besonders verwendet wird, wenn eine Fernbereichsabhängigkeit wesentlich ist. Obwohl die Geschichte der fBM auf Kolmogorov (1940) und andere zurückgeführt werden kann, ist ihre explizite Einführung auf Mandelbrot und van Ness (1968) zurückzuführen. Ihre Absicht war, ein Selbst-ähnliches zu definieren. Zentrierten Gaußschen Prozeß mit stationären aber nicht unabhängigen Inkrementen und mit kontinuierlichen Abtastpfaden a. s. Hier bedeutet Eigenähnlichkeit für jedes a gt0, wobei H (0,1) der Hurst-Parameter des fBM und Gleichheitsgleichung bedeutet. Sie zeigten, dass diese Eigenschaften fBM charakterisieren. Der Fall reduziert sich auf gewöhnliche BM mit unabhängigen Inkrementen, während die Fälle negativ (bzw. positiv) korrelierte Inkremente ergeben, siehe Mandelbrot und van Ness (1968). Es scheint, dass in den Anwendungen von fBM, der Fall ist die am häufigsten verwendete. Mandelbrot und van Ness (1968) lieferten die folgende explizite Darstellung von fBM als gleitendem Durchschnitt von gewöhnlichem, aber zweiseitigem BM: mit t 0 und (x) max (x, 0). Die Idee von (2) bezieht sich auf deterministische Fraktionskalküle. Die eine noch längere Geschichte als fBM aufweist, die auf Liouville, Riemann und andere zurückgeht, siehe Samko et al. (1993). Sein einfachster Fall ist, wenn eine stetige Funktion f und eine positive ganze Zahl gegeben sind. Dann kann eine Induktion mit Integration durch Teile zeigen, daß die Ordnung iteriertes antiderivatives (oder Ordnungsintegral) von f ist. Andererseits ist dieses Integral auch für nicht-ganzzahlige positive Werte gut definiert, wobei es in diesem Fall als ein fraktionales Integral von f bezeichnet werden kann. So ist heuristisch der Hauptteil von (2) das Ordnungsintegral des (im gewöhnlichen Sinne nicht existierenden) Weißrauschprozesses W (t). Somit kann das fBM W (H) (t) als eine stationäre Inkrementmodifikation des fraktionalen Integrals W (t) des Weißrauschverfahrens betrachtet werden, wobei. 2 Random Walk Bau der gewöhnlichen Brown'sche Bewegung Es ist interessant, dass eine sehr natürliche und elementare Konstruktion der gewöhnlichen BM als eine Grenze der zufälligen Wanderungen (RWs) erschien relativ spät. Die mathematische Theorie des BM begann um 1900 mit den Arbeiten von Bachelier, Einstein, Smoluchowski und anderen. Die erste Existenzbau wurde von Wiener 1921 und Wiener 1923, die von mehreren anderen später folgte gegeben. Ritter (1961) führte die erste Konstruktion durch zufällige Wanderungen ein, die später durch Rvsz (1990) vereinfacht wurde. Der vorliegende Autor hatte das Glück, diese Version der Konstruktion direkt von Pl Rvsz in einem Seminar an der Technischen Universität in Budapest zu hören, ein paar Jahre vor der Veröffentlichung von Rvszs Buch im Jahr 1990 und wurde sofort von ihr fasziniert. Das Ergebnis einer Bemühung, es weiter zu vereinfachen, erschien in Szabados (1996). Von nun an bezieht sich der Ausdruck RW-Konstruktion immer auf die in diesem diskutierte Version. Es ist asymptotisch äquivalent zu Skorohod (1965) Einbettung, um eine verschachtelte dyadische Sequenz von RWs in BM zu finden, siehe Theorem 4 in Szabados (1996). Als solche hat es einige Vorteile und Nachteile im Vergleich zu der gefeiert bestmöglichen Annäherung durch BM von Teilsummen von Zufallsvariablen mit Momentengeneratorfunktion endlich um den Ursprung herum. Letzteres wurde von Komls 1975 und Komls 1976 erhalten und wird in der Folge als KMT-Approximation abgekürzt. Die Hauptvorteile der RW-Konstruktion sind, dass sie elementare, explizite, nur vergangene Werte verwendet, um neue zu konstruieren, in der Praxis einfach zu implementieren und sehr gut geeignet sind, stochastische Integrale zu approximieren, siehe Satz 6 in Szabados (1996) sowie Szabados 1990). Es sei daran erinnert, dass die KMT-Approximation Teilsummen (z. B. ein einfaches symmetrisches RW) aus BM selbst (oder aus einer i. i.d.-Sequenz von normalen normalen Zufallsvariablen) durch eine komplizierte Folge von bedingten Quantiltransformationen aufbaut. Um einen neuen Wert zu erstellen, verwendet er die gesamte Sequenz (auch Vergangenheits - und Zukunftswerte). Andererseits besteht die Hauptschwäche der RW-Konstruktion darin, daß sie eine Konvergenzrate liefert, während die Rate der KMT-Näherung die bestmögliche ist, wobei N die Anzahl der in der RW betrachteten Schritte (Terme) ist. In der Folge werden zuerst die Haupteigenschaften der oben erwähnten RW-Konstruktion zusammengefasst. Dann wird diese RW-Konstruktion verwendet, um eine Approximation ähnlich zu (2) von fBM durch die Bewegung von Mittelwerten der RW zu definieren. Die Konvergenz und der Fehler dieser Annäherung werden als nächstes diskutiert. Als Konsequenz der relativ schwächeren Approximationseigenschaften der RW-Konstruktion wird die Konvergenz zu fBM nur für etabliert und die Konvergenzrate wird auch nicht optimal sein. Um dies zu kompensieren, diskutieren wir am Ende des Aufsatzes die Konvergenz - und Fehlereigenschaften einer ähnlichen Konstruktion von fBM, die stattdessen die KMT-Näherung verwendet, die für alle H (0,1) konvergiert und deren Konvergenzrate vermutet werden kann Die beste Möglichkeit bei der Annäherung von fBM durch gleitende Mittelwerte von RWs. Die hier zusammengefasste RW-Konstruktion von BM entnimmt Szabados (1996). Wir beginnen mit einer unendlichen Matrix von i. i.d. Zufallsvariablen X m (k), die auf demselben zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind. Jede Zeile dieser Matrix ist eine Basis einer Annäherung von BM mit einer bestimmten dyadischen Schrittgröße t 2 2 m in der Zeit und einer entsprechenden Schrittgröße x 2 m im Raum, dargestellt durch die nächste Tabelle. Der zweite Schritt der Konstruktion ist Verdrehen. Aus den unabhängigen Zufallswegen (d. h. aus den Zeilen der Tabelle 1) wollen wir abhängige erzeugen, so daß nach dem Schrumpfen von zeitlichen und räumlichen Schrittweiten jede aufeinanderfolgende RW eine Verfeinerung der vorherigen wird. Da die Raumeinheit in jeder aufeinanderfolgenden Reihe halbiert wird, definieren wir die Stoppzeiten durch T m (0) 0 und für k 0. Dies sind die zufälligen Zeitpunkte, wenn ein RW auch ganze Zahlen aufruft, die sich von dem vorherigen unterscheiden. Nach dem Schrumpfen der Raumeinheit um die Hälfte wird eine geeignete Modifikation dieses RW dieselben ganzen Zahlen in der gleichen Reihenfolge wie die vorherige RW besuchen. (Wir nennen hier eine Verfeinerung.) Wir arbeiten hier an jedem Punkt des Probenraumes separat, dh wir fixieren einen Abtastpfad jedes in Tabelle 1 erscheinenden RW. Jede Brücke S m (T m (k 1)) S m (T m (k)) den entsprechenden Schritt X m 1 (k 1) des vorhergehenden RW nachahmen. Wir definieren verdrehte RWs rekursiv für m 1,2,3, mit, beginnend mit (n 0). Mit jedem festen m gehen wir für k 0,1,2 nacheinander und für jedes n in der entsprechenden Brücke T m (k) lt n T m (k 1). Jede Brücke wird umgedreht, wenn sich ihr Vorzeichen von der gewünschten abweicht (Abb. 1. Abb. 2 und Abb. 3): und dann. Dann ist jedes (n 0) noch ein einfaches, symmetrisches RW siehe Lemma 1 in Szabados (1996). Darüber hinaus haben die verdrehten RWs die gewünschte Verfeinerungseigenschaft: Der letzte Schritt der RW-Konstruktion schrumpft. Die Abtastpfade von (n 0) können durch lineare Interpolation auf kontinuierliche Funktionen erweitert werden. Auf diese Weise erhält man (t 0) für reelle t. Dann definieren wir die m-te Näherung von BM (siehe Fig. 4) durch Vergleichen von drei Schritten eines Abtastpfades der ersten Näherung B & sub0; (t) und des entsprechenden Teils der zweiten Näherung B & sub1; (t) in Fig. 1 und Fig. 4. Die zweite besucht dieselbe ganze Zahl (anders als die vorhergehende) in der gleichen Reihenfolge wie die erste, also imitiert die erste, aber die entsprechenden Zeitpunkte unterscheiden sich im allgemeinen: 2 2 T 1 (k) k. Ähnlich (3) impliziert die allgemeine Verfeinerungseigenschaft, aber es gibt eine Zeitverzögerung im Allgemeinen. Die Grundidee der RW-Konstruktion von BM ist, dass diese Zeitverzögerungen gleichmäßig klein werden, wenn m groß genug wird. Es kann durch das folgende einfache Lemma bewiesen werden. Tabelle 1. Ausgangslage für die RW-Konstruktion von BM Nicht überraschend bedeutet diese und die Verfeinerungseigenschaft (5) die einheitliche Nähe von zwei aufeinanderfolgenden Näherungen von BM, wenn m groß genug ist. Dieses Lemma sorgt für die a. s. Einheitliche Konvergenz der RW-Näherungen auf kompakte Intervalle und es ist klar, dass der Grenzprozess das Wiener-Verfahren (BM) mit kontinuierlichen Probenwegen nahezu sicher ist. Theorem 1 Die RW-Annäherung a. s. Gleichmäßig in jedem kompakten Intervall zu einem Wiener-Verfahren konvergiert. Für jedes und für jedes m m 2 (C) haben wir Die obigen Ergebnisse entsprechen Lemma 2. Lemma 3 und Lemma 4 und Theorem 3 in Szabados (1996). Wir erwähnen, daß die hier dargestellten Aussagen etwas schärfer sind, aber leicht aus den Beweisen in der obigen Literatur gelesen werden können. 3 Eine wegweise Annäherung der fraktionalen Brownschen Bewegung Eine fast sicher konvergente Pfadbauweise von fBM wurde von Carmona und Coutin (1998) gegeben, die fBM als lineare Funktion eines unendlich dimensionalen Gaußschen Prozesses darstellen. Ein weiterer Wegbau wurde von Decreusefond und stnel 1998 und Decreusefond und stnel 1999 gegeben, die im Sinne von L 2 konvergieren. Diese Konstruktion verwendet diskrete Approximationen der gleitenden Mittelwertdarstellung von fBM (2). Basierend auf deterministischen Teilungen der Zeitachse. Genauer gesagt wird (2) durch ein Integral über das kompakte Intervall 0, t, aber mit einem komplizierteren Kernel mit einer hypergeometrischen Funktion ersetzt. Die hier diskutierte Näherung von fBM wird auch eine diskrete Version der gleitenden Mittelwertdarstellung (2) von fBM sein, aber dyadische Trennwände werden auf der räumlichen Achse von BM genommen und so erhält man zufällige Trennwände auf der Zeitachse. Dies ist asymptotisch eine Skorohod-artige Einbettung von verschachtelten RWs in BM. Als Ergebnis haben wir anstelle von Integral die Summe, und BM wird durch die verschachtelte, verfeinernde Sequenz ihrer RW-Approximationen ersetzt, die im vorigen Abschnitt diskutiert wurden. Da (2) zweiseitiges BM enthält, brauchen wir zwei Sequenzen: eine für die rechte und eine für die linke Halbachse. Von nun an werden wir die folgenden Notationen verwenden: m 0 ist eine ganze Zahl, t 2 2 m. . Der Kernel ist die m-te Näherung von fBM per Definition B m (H) (0) 0 und für positive ganze Zahlen k, wobei die Konvention 0 H 12 0 auch für negative Exponenten angewendet wird. Es ist nützlich, B m (H) in einer anderen Form zu schreiben, wobei eine diskrete Version der Integration durch Teile angewendet wird. Ausgehend von (8) und der Neuordnung nach B m (tr) ergibt sich für k 1, dass auf diese Weise eine diskrete Version erhalten wird, die man aus (2) unter Verwendung einer formalen Integration durch Teile erhält (vgl 5 unten). Zur Unterstützung der obigen Definition zeigen wir, dass B m (H) Eigenschaften besitzt, die analog zu den charakterisierenden Eigenschaften von fBM in einer diskreten Einstellung sind. (A) B m (H) ist zentriert (klar von seiner Definition) und hat stationäre Inkremente. Wenn k 0 und k nichtnegative ganze Zahlen sind, dann ist (Ersatz von u r k 0) (b) B m (H) annäherungsweise selbstähnlich in dem folgenden Sinne: Wenn a 2 2 m 0 ist. Wobei m 0 eine ganze Zahl ist, m 0 m. Für jede k-nichtnegative Ganzzahl, für die ka ebenfalls eine Ganzzahl ist, hat Lemma 4 (und Theorem 2) unten, daß B m (H) und B m 1 (H) (und B mn ( H)) mit beliebiger großer Wahrscheinlichkeit in einem beliebigen kompakten Intervall gleichmäßig nahe sind, wenn m groß genug ist (wann). Es konnte in einer ähnlichen Weise bewiesen werden, dass für eine j. Wobei j 0 eine beliebige ganze Zahl, 2 2 n j 2 2 (n 1) mit einer ganzen Zahl n 0 ist, können die endlichen Dimensionsverteilungen beliebig nahe bei den endlichen Dimensionsverteilungen von B m n (H) gemacht werden, wenn m groß genug ist. Folglich ist B m (H) willkürlich nah an sich selbst ähnlich für jeden dyadischen a j 2 2 m 0, wenn m groß genug ist. (C) Für beliebige 0lt t 1 ltlt t n. Die Grenzverteilung des Vektors als m ist Gaußscher. woher . Diese Tatsache folgt aus Satz 2 (nach Lemma 5), der besagt, daß der Prozeß B m (H) in kompakten Intervallen fast sicher zum Gaußschen Prozeß W (H) konvergiert. 4 Konvergenz der Approximation zu fBM Zuerst wird gezeigt, dass zwei aufeinander folgende Approximationen von fBM durch (8) definiert sind. Oder äquivalent durch (9). Sind gleichmäßig nahe, wenn m groß genug ist, vorausgesetzt. Anscheinend ist die obige RW-Näherung von BM nicht gut genug, um eine Konvergenz zu haben. Wenn eine Konvergenz bewiesen wird, wird eine große Abweichungsungleichung ähnlich Lemma 1 eine wichtige Rolle spielen. Wenn X 1, X 2, eine Sequenz von i. i.d. Zufallsvariablen und S r a r X r. Wo nicht alle Null sind und dann (siehe z. B. Stroock, 1993, S. 33). Die obige Summe kann sich entweder auf endlich viele oder auf abzählbar viele Begriffe erstrecken. Wenn S 1, S 2 ,, SN beliebige Summen des obigen Typs sind, kann man das folgende Analogon von Lemma 1 erhalten. Für jedes C gt1 und N 1, also mit (19) erhält man das Ergebnis mit dem Wert Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit höchstens 2 (K 2 2 m) 1 C. Wobei und C gt1 beliebig sind. (D) Das Maximum von U m, k. Wir teilen die halbe Linie in Intervalle der Länge L auf. Wobei L & sub4; K. Für Bestimmtheit wählen Sie L 4 K. Abgesehen davon wird dieses Teil ähnlich dem Teil (b) sein. In der Folge verwenden wir die Konvention, dass, wenn die untere Grenze einer Summation eine reelle Zahl x ist. Beginnt die Summation bei x und ähnlich, wenn die obere Grenze y ist. Endet die Summation bei y. Nach (17) gibt Lemma 3 eine Obergrenze für die maximale Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Näherungen von BM, wenn j 1 ein beliebiger fester Wert ist: mit der Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit höchstens 3 (jL 2 2 m) 1 C. Wobei C gt1 beliebig ist und m m 1 (C) ist. Dies bedeutet für alle C 3 und mm 1 (C), dass die obige Ungleichung (24) für alle j 1,2,3 mit Ausnahme einer Wahrscheinlichkeitssatzmenge höchstens für den anderen Hauptfaktor in (23) binomial gilt Wie oben, mit und v 1: Im zweiten Fall, wenn das obige Verfahren anscheinend hier Konvergenz gibt (wie in Teil (b)), nur wenn: für alle C 3 und mm 1 (C) mit Ausnahme von Ein Satz von Wahrscheinlichkeit höchstens (K 2 2 m) 1 C. Nun kann man die Ergebnisse der Teile (a) (d), siehe (18) kombinieren. (20) angeordnet ist. (21) aufweist. (22) angeordnet ist. (27) und (28). Um die Aussage des Lemmas zu erhalten. Denken Sie daran, dass die Konvergenzrate in den Teilen (a) und (c) schneller ist als die in den Buchstaben (b) und (d). Insbesondere ist zu beachten, dass es einen Faktor m in (b) und (d) gibt, der ein Gegenstück m 12 in (a) und (c) aufweist. Da in der Aussage dieses Lemma einfach die schnelleren konvergierenden Faktoren durch die langsameren konvergierenden ersetzt werden, können die konstanten Multiplikatoren in (a) und (c) ignoriert werden, wenn m groß genug ist. Es ist einfach, die Formel (9) der m-ten Näherung Bm (H) von fBM auf reelle Argumente t durch lineare Interpolation zu erweitern, genau wie im Fall der m-ten Näherung Bm (t) von gewöhnlichem BM. In Szabados (1996). Dann sind die resultierenden kontinuierlichen Parameter-Näherungen von fBM Bm (H) (t) (t & sub0;) kontinuierliche, stückweise lineare Abtastpfade. Mit dieser Definition sind wir bereit, ein Hauptresultat dieser Arbeit darzulegen. Wo (H, K) und sind die gleichen wie in Lemma 4. (Der Fall ist durch Satz 1 beschrieben) mit Ausnahme eines Ereignisses der Wahrscheinlichkeit höchstens 8 (K 2 2 m) 1 C. Da sowohl Bm1 (H) (t) als auch Bm (H) (t) stückweise lineare Probenwege haben, muß ihre maximale Differenz an den Eckpunkten der Probenwege auftreten. Es sei M m die maximale Zunahme von B m (H) zwischen Paaren von Punkten t k, t k 1 in 0, K: mit Ausnahme eines Ereignisses der Wahrscheinlichkeit von höchstens 2 (K 2 2 m) 1 C. Vgl. (31) unten. Ein Abtastpfad von Bm & sub1; (H) (t) macht vier Schritte in jedem Intervall tk, tk & sub1 ;. Um seine maximale Abweichung von D m zu berechnen, genügt es, seine Veränderung zwischen dem Mittelpunkt und einem Endpunkt eines solchen Intervalls in zwei Schritten von beiden linken und rechten Endpunkten abzuschätzen: mit Ausnahme eines Wahrscheinlichkeitsereignisses von höchstens 2 (K 2 2 (M & sub1;)) & sub1; C. Daher mit Ausnahme eines Wahrheitsfalls höchstens. Die obige Erklärung zeigt, dass zur gleichen Zeit die obere Grenze, die wir gesucht haben, bis auf ein Wahrscheinlichkeitsereignis höchstens (82 32 C) (K 2 2 m) 1 C ist. Dann kann ein ähnliches Argument wie im Beweis von Lemma 4 verwendet werden. Teil (a) dort: N K 2 2 m und C gt1 in (12). Und mit (19) erhält man für m 1, daß mit Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit höchstens 2 (K 2 2 m) 1 C. Wobei K gt0 und C gt1 beliebig sind. Außer für ein Wahrscheinlichkeitsereignis höchstens 8,125 (K 2 2 m) 1 C wobei (H, K) und (H) die gleichen sind wie im Lemma 4. Denken Sie daran, dass die Konvergenzrate in (31). Genauso wie in den Teilen (a) und (c) des Beweises von Lemma 4. ist schneller als die in den Teilen (b) und (d) dieses Beweises. Abgesehen von konstanten Multiplikatoren hat das Ergebnis von (31) die gleiche Form wie die Ergebnisse von (a) und (c). Da in der Aussage dieses Satzes einfach die schnelleren konvergierenden Faktoren durch die langsameren konvergierenden ersetzt werden, können die konstanten Multiplikatoren von (31) ignoriert werden, wenn m groß genug ist. Deshalb ist auch hier die von Lemma 4 definierte (H, K) geeignet. Daraus folgt, daß mit dem Wahrscheinlichkeitsfaktor 1 die Probenwege von B m (H) (t) in jedem kompakten Intervall 0, K gleichmäßig auf einen Prozeß W (H) (t) konvergieren. Dann hat W (H) (t) kontinuierliche Abtastwege und erbt die in Abschnitt 3 beschriebenen Eigenschaften von B m (H) (t). Es ist ein zentrierter, selbstähnlicher Prozess mit stationären Inkrementen. Wie Lemma 5 unten impliziert, ist das so definierte Verfahren Gaußscher. Daher ist W (H) (t) ein fBM und nach (33) ist die Konvergenzrate der Näherung diejenige, die in dem Satz angegeben ist. Das Ziel des nächsten Lemmas, die Integration durch Teile zu zeigen, ist im wesentlichen gültig für (2) W (H) (t), was zu einer Formel ähnlich zu (10) führt. Dann folgt, dass durch eine lineare Transformation des Gaußschen Prozesses stochastisch beliebig gut angenähert werden kann, also ist es auch Gaußscher. Nach dem zweiten Glied auf der rechten Seite von (37) wenden wir uns dem dritten Glied zu. Nehmen Sie jetzt alle (0, 0). Da h (s, t) kontinuierliche partielle Ableitung w. r.t. S in den Intervallen 1 und t und nach Satz 1. B m a. s. (35) und (36) zeigt, daß es mit diesem ein m gibt, so daß Satz 1 auch impliziert, daß m so gewählt werden kann, daß für den vierten Term in (37) einer ähnlich ist Schließlich stellt Satz 2 (oder mit modifizierter Konstruktion, Satz 3 unten) sicher, daß m so gewählt werden kann, daß der erste Term in (37) dieselbe Ungleichung erfüllt: Die letzten vier Formeln belegen zusammen das Lemma. 5 Verbesserte Konstruktion unter Verwendung der KMT-Näherung Die Teile (b) und (d) des Beweises von Lemma 4 ergaben eine schlechtere Konvergenz als die Teile (a) und (c), wobei die Raten am besten geeignet sind. Der Grund dafür ist eindeutig die relativ schwächere Konvergenzrate der RW-Näherung des normalen BM, die in den Teilen (b) und (d) verwendet wurde, jedoch nicht in den Teilen (a) und (c). Es ist auch klar, dass die Nutzung der bestmöglichen KMT-Annäherung stattdessen diese Schwäche beseitigen und auch hier hoffentlich die bestmögliche Rate geben würde. Der Preis, den man dafür bezahlen muss, ist das komplizierte und zukunftssichere Verfahren, mit dem das KMT-Verfahren geeignete Approximations-RWs von BM konstruiert. Das Ergebnis, das wir von Komls 1975 und Komls 1976 benötigen, ist wie folgt. Angenommen, man möchte eine i. i.d. Sequenz X 1, X 2, von Zufallsvariablen mit einer gegebenen Verteilung, so dass die Teilsummen so nahe wie möglich an BM liegen. Wir nehmen an, daß E (X k) 0, Var (X k) 1 und die Momenterzeugungsfunktion E (e uX k) lt für. Es sei S (k) X 1 X k. K 1 die Teilsummen sind. Wenn BM W (t) (t 0) gegeben ist, existiert für jedes n 1 eine Folge von bedingten Quantiltransformationen, die auf W (1), W (2), W (n) angewendet wird, so daß man das gewünschte Teil erhält Die Summe S (1), S (2), S (n) und die Differenz zwischen den beiden Sequenzen ist die kleinstmögliche: für beliebige x gt0, wobei C 0, K 0 positive Konstanten sind, X k. Aber nicht auf n oder x. Außerdem kann durch Auswahl eines ausreichend großen C 0 beliebig groß gewählt werden. Hierbei erhält man, wo n 1 beliebig ist. Fix eine ganze Zahl m 0, und führen Sie die gleichen Notationen wie in vorherigen Abschnitten:. Dann multiplizieren Sie die innere Ungleichung in (42) mit 2 m und verwenden Sie die Eigenähnlichkeit (1) von BM (mit), um aus den entsprechenden dyadischen Werten W (tk) (0 k) eine geschrumpfte RW (0 k K 2 2 m) zu erhalten K 2 2 m) von BM durch eine Sequenz von bedingten Quantiltransformationen, so dass mit Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit kleiner als K 0 (K 2 2 m) C 0 ist. Für beliebige m 1 und K gt0. Auch hier wurde (19) verwendet. Dann bedeutet (43) für die Differenz zweier aufeinander folgender Approximationen, die für beliebige m 1 und K gt0 gilt. Dies ist genau das, was wir brauchen, um die Konvergenzraten in den Buchstaben b) und d) von Lemma 4 zu verbessern. Ersetzen Sie diese KMT-Näherungen durch Definition (8) oder (9) von B m (H) (t k). Auf diese Weise erhält man schneller konvergierende Approximationen von fBM. Dann ist alles oben in 3 und 4 noch gültig, außer daß man anstelle von Lemma 3 an den Teilen (b) und (d) die verbesserte Formel (44) anstelle von Lemma 3 verwenden kann. Erhält man für jedes m 1, mit Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit kleiner als 2 K 0 (K 2 2 m) C 0. Auch von (44). Anstelle von (24) und (25) hat man die verbesserten Ungleichungen: mit Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit kleiner als 2 K 0 (jL 2 2 m) C 0. Wobei m 1 gilt. Wenn C 0 groß genug gewählt wird, so daß C 0 2 gilt, gilt (46) für alle j 1,2,3 gleichzeitig mit Ausnahme einer Wahrscheinlichkeitsmenge kleiner als (Denken wir daran, daß wir L 4 K teilweise gewählt haben (D) des Beweises von Lemma 4). Anschließend wird an Stelle von (27) und (28) die Schätzung an Stelle von (26) benötigt. Die verbesserten Ergebnisse sind wie folgt. Zunächst gilt für den Fall, daß für jeden m 1 und C 0 groß genug ist, so daß C 0 2 mit Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeiten kleiner als durch (47) gegeben ist. Nun folgt für den Fall, daß m & sub1; und C & sub0; groß genug sind, so daß C & sub0; & sub2; mit Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit kleiner als durch (47) gegeben ist. Als Ergebnis gibt es Konvergenz für jedes H (0,1). Da die KMT-Näherung selbst die bestmögliche Rate für die Annäherung von gewöhnlichem BM durch RW hat, kann vermutet werden, daß die resultierenden Konvergenzraten im nächsten Lemma und Theorem für die Annäherung von fBM durch sich bewegende Mittelwerte einer RW auch am besten (abgesehen von konstanten Multiplikatoren) möglich sind . Beweis Kombinieren Sie die Ergebnisse der Teile (a) und (c) im Beweis von Lemma 4 und die verbesserten Ungleichungen oben, das heißt, gelten (18). (20) angeordnet ist. (45) aufweist. (22) und (48). Und (49). Auch hier ersetzen wir einfach die schnelleren konvergierenden Faktoren durch die langsameren konvergierenden, aber die konstanten Multiplikatoren der schnelleren konvergierenden Terme können nicht ignoriert werden, da das Lemma für jedes m 1 angegeben ist. Jetzt können wir die verbesserten Approximationen von fBM auf reale Argumente ausdehnen Durch lineare Interpolation in gleicher Weise wie bei den ursprünglichen Approximationen, siehe (29). Auf diese Weise erhalten wir kontinuierliche Parameter-Näherungen (t 0) für m 0,1,2 ,, mit kontinuierlichen, stückweise linearen Probenpfaden. Nun können wir das zweite Hauptergebnis dieser Arbeit angeben. Wobei in der Definition von Lemma 6 der konstante Multiplikator 10 auf 20 geändert werden muß.) Die Konstanten werden durch die KMT-Näherung (41) mit der gewählten C 0 definiert So groß, dass C 0 2. Der Fall ist durch (43) beschrieben. Proof The proof can follow the line of the proof of Theorem 2 with one exception: the constant multipliers in (31) and consequently in (30) cannot be ignored here. This is why the multiplier of Lemma 6 had to be modified in the statement of the theorem. It can be conjectured that the best rate of approximation of fBM by moving averages of simple RWs is , where N is the number of points considered. Though it seems quite possible that definition of above, see (8) with the KMT approximations , supplies this rate of convergence for any H (0,1), but in Theorem 3 we were able to prove this rate only when . A possible explanation could be that in parts (b) and (d) of Lemma 4 we separated the maxima of the kernel and the integrator parts. As a result, the convergence rate we were able to prove when is the same that the original KMT approximation (43) gives for ordinary BM, where N K 2 2 m . though in this case the sample paths of fBM are smoother than that of BM. (See, e. g. Decreusefond and stnel, 1998 .) On the other hand, the obtained convergence rate is worse than this, but still thought to be the best possible, , when , which heuristically can be explained by the more zigzagged sample paths of fBM in this case. References Carmona and Coutin 1998 P. Carmona. L. Coutin Fractional Brownian motion and the Markov property Elect. Comm. 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