Arma Autoregressive Moving Average Beispiel

Brauchen Sie Excel Consulting und Data Mining Services Sie sind mit einer dieser Herausforderungen konfrontiert Die Notwendigkeit, ein Excel-Makro zu erstellen, um eine große Aufgabe zu tun Ein repetitiver Job in Excel, die Stunden oder Tage dauert, um manuell zu tun Gefragt, um ein Excel-Makro zu lösen, zu erstellen Große Notwendigkeit Die Notwendigkeit, Rohdaten in nützliches Excel-Format zu konvertieren Die Notwendigkeit, ein Excel-Makro für die Verwendung von vielen Menschen in Ihrem Unternehmen zu erstellen Eine enge Frist Unsere Dienstleistungen umfassen, sind aber nicht beschränkt auf: Datenbankprogrammierung Bericht Automatisierung Reporting Datenmanipulation und Konvertierung Datenbank-Marketing Data Audit Excel VBA-Programmierung Datenbereinigung Data Mining und Prognose Datenintegration Financial Modeling Query Rechner und Werkzeuge Kundenspezifische Excel-Funktionen Tabellenkalkulation und Datenbank-Design Wenn Sie sind, können wir Ihnen helfen Wir können: Durchführen von Qualitätsaufgaben von der einfachen bis zur schwierigen. 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Sie können die Anzahl der Schritte reduzieren, die zum Abschließen von Tasks erforderlich sind, und die Zeitaufwand für das Erstellen, Formatieren, Ändern und Drucken der Tabellenkalkulationen erheblich reduzieren. Ein Makro kann so einfach sein wie das Replizieren einiger Formatierungsaufgaben oder so komplex wie das Abfragen von Informationen aus verschiedenen Datenquellen durch Datenbankprogrammierung. Beispiel: Ein Finanzanalytiker lädt täglich Finanztabellen aus dem Internet für Analysen und Berichterstellung ein. Sie umfasst 30 Aktien für die Computerindustrie. Jeden Tag nimmt sie die Zahlen aus den Tabellen auf, führt einige finanzielle Verhältnisanalysen durch und gibt die Verhältnisse in verschiedene Berichte ein. Sie hat diese repetitive Aufgaben für jedes der 30 Unternehmen, die sie deckt zu tun. Diese Aufgaben nehmen den Großteil ihrer Zeit im Büro auf. Mit Hilfe eines Beratungsdienstes ist sie nun in der Lage, alle Berichte in wenigen Minuten fertig zu stellen und ihr mehr Zeit zu geben, ihre Berichte zu schreiben und zu entspannen. Datenqualität bezieht sich auf die Qualität der Daten. Die Daten sind von hoher Qualität, wenn sie für ihre Verwendungszwecke in Betrieb, Entscheidungsfindung und Planung geeignet sind (J. M. Juran). Alternativ werden die Daten von hoher Qualität angesehen, wenn sie das reale Weltkonstrukt, auf das sie sich beziehen, korrekt darstellen. Eine Branchenstudie schätzte die Gesamtkosten für die US-amerikanische Wirtschaft mit Datenqualitätsproblemen auf über 600 Milliarden US-Dollar pro Jahr (Eckerson, 2002). In der Tat ist das Problem ein solches Anliegen, dass Unternehmen beginnen, ein Data-Governance-Team, dessen einzige Rolle in der Gesellschaft ist verantwortlich für die Datenqualität. Obwohl die meisten Unternehmen ihre Qualitätsbemühungen auf Namens - und Adressinformationen konzentrieren, wird die Datenqualität als eine wichtige Eigenschaft aller Arten von Daten erkannt. Datenqualität Prozess kann einige oder alle der folgenden: Daten Profiling - zunächst die Bewertung der Daten, um ihre Qualität Herausforderungen zu verstehen. Datenstandardisierung - eine Geschäftsregelmaschine, die sicherstellt, dass Daten den Qualitätsregeln entsprechen. Matching oder Linking - eine Möglichkeit, Daten zu vergleichen, so dass ähnliche, aber leicht unterschiedliche Datensätze ausgerichtet werden können. Matching kann Fuzzy-Logik verwenden, um Duplikate in den Daten zu finden. Es erkennt oft, dass Bob, Bobby, Rob und Robert die gleiche Person sein können. Monitoring - Verfolgung der Datenqualität über die Zeit und Berichterstattung Variationen in der Qualität der Daten. Data Mining entdeckt Muster in Daten mit prädiktiven Techniken. Diese Muster spielen eine entscheidende Rolle bei der Entscheidungsfindung. Mit Data Mining können Unternehmen und Organisationen die Rentabilität ihrer Unternehmen steigern, indem sie Chancen aufdecken und potenzielle Risiken erkennen. Die Prognose ist Bestandteil des Data Mining. Es ist der Prozess der Schätzung in unbekannten Situationen. Die Vorhersage ist ein ähnlicher, aber allgemeinerer Begriff und bezieht sich üblicherweise auf die Schätzung von Zeitreihen, Querschnitts - oder Längsdaten. Die Prognose wird häufig in der Diskussion von Zeitreihen-Daten verwendet. Beispiel: Ein Midwest Lebensmittelgeschäft Kette verwendet Data-Mining-Methode zu analysieren lokalen Kauf-Muster. Sie entdeckten, dass, wenn Männer Windeln an Donnerstag und Samstag kauften, neigten sie auch dazu, Bier zu kaufen. Weitere Analysen zeigten, dass diese Shopper in der Regel ihre wöchentliche Lebensmittelgeschäft Einkaufen am Samstag. Aber donnerstags kauften sie nur ein paar Gegenstände. Der Einzelhändler kam zu dem Schluss, dass sie das Bier gekauft haben, um es für das kommende Wochenende zur Verfügung zu stellen. Die Lebensmittelkette könnte diese neu entdeckten Informationen auf verschiedene Weise nutzen, um den Umsatz zu steigern. Zum Beispiel könnten sie die Bier-Display näher an die Windel-Display bewegen. Und sie konnten sicherstellen, dass Bier und Windeln zu vollen Preisen am Donnerstag verkauft wurden. Das Datenbank-Marketing unterstreicht die Verwendung von statistischen Techniken und Datenanalysen, um Modelle des Kundenverhaltens zu entwickeln, die dann verwendet werden, um Kunden für die Kommunikation auszuwählen. Der Vorteil von Datenbank-Marketing ist die Fähigkeit, Ihre Marketing-Bemühungen. Unternehmen können ihre Marketing-Bemühungen auf Kunden konzentrieren, die am ehesten zu kaufen sind. Beispiel: Ein Internet-Marketing-Unternehmen sponsert eine Messe in Houston. Statt der Einladung zu Tausenden ihrer Kunden in den Vereinigten Staaten, führt das Unternehmen eine Abfrage in seiner Marketing-Datenbank und extrahiert eine Liste der Kunden in der Houston Metro-Bereich befindet. Das Unternehmen sendet dann sein Einladungspaket an diese Zielliste aus. Microsoft Excel und VBA Excel ist eine leistungsfähige Kalkulationstabelle erlaubt Ihnen, Daten zu speichern, zu manipulieren, zu analysieren und zu visualisieren. Es verfügt über eine intuitive Schnittstelle und fähige Berechnungs - und Grafik-Tools, die Excel zu einem der beliebtesten Mikrocomputer-Anwendungen gemacht hat. Es ist überwiegend die dominierende Tabellenkalkulation Anwendung für diese Plattformen und ist so seit Version 5 im Jahr 1993 und seine Bündelung als Teil von Microsoft Office. Excel hat Visual Basic für Applikationen (VBA) enthalten, eine Programmiersprache basierend auf Visual Basic, die die Möglichkeit, Aufgaben in Excel zu automatisieren und benutzerdefinierte Funktionen (UDF) für die Verwendung in Arbeitsblättern. VBA ist eine leistungsfähige Ergänzung zu der Anwendung, die in späteren Versionen eine voll funktionsfähige integrierte Entwicklungsumgebung (IDE) enthält. Die Makroaufzeichnung kann VBA-Code erzeugen, der Benutzeraktionen repliziert und so eine einfache Automatisierung regelmäßiger Aufgaben ermöglicht. VBA ermöglicht das Erstellen von Formularen und In-Arbeitsblatt-Steuerelementen, um mit dem Benutzer zu kommunizieren. Die Sprache unterstützt die Verwendung (aber nicht die Erstellung) von ActiveX (COM) DLLs späteren Versionen unterstützen Unterstützung für Klassenmodule, die die Verwendung von grundlegenden OOP-Techniken Mehr Info Datenbank-Marketing Datenbank-Marketing ist eine Form der Direkt-Marketing mit Datenbanken von Kunden oder potenziellen Kunden, um personalisierte Kommunikation zu generieren, um ein Produkt oder eine Dienstleistung für Marketingzwecke zu fördern. Die Methode der Kommunikation kann jedes adressierbare Medium, wie im Direktmarketing sein. Die Unterscheidung zwischen Direkt - und Datenbank-Marketing beruht in erster Linie auf der Aufmerksamkeit für die Analyse der Daten. Datenbank-Marketing betont die Verwendung von statistischen Techniken, um Modelle des Kundenverhaltens zu entwickeln, die dann verwendet werden, um Kunden für die Kommunikation auswählen. Infolgedessen tendieren Datenbankvermarkter auch dazu, schwere Benutzer von Data-Warehouses zu sein, weil mit einer größeren Menge an Daten über Kunden die Wahrscheinlichkeit erhöht, daß ein genaueres Modell aufgebaut werden kann. Weitere Informationen Forecasting Analysis Forecasting ist der Prozess der Schätzung in unbekannten Situationen. Vorhersage ist ein ähnlicher, aber allgemeiner Begriff und bezieht sich gewöhnlich auf die Schätzung von Zeitreihen, Querschnitts - oder Längsdaten. Die Prognose wird häufig in der Diskussion von Zeitreihen-Daten verwendet. Zeitreihenmethoden verwenden historische Daten als Grundlage für die Schätzung zukünftiger Ergebnisse. Gleitender Durchschnitt Exponentielle Glättung Extrapolation Lineare Vorhersage Trendabschätzung Wachstumskurve Einige Prognosemethoden verwenden die Annahme, dass es möglich ist, die zugrunde liegenden Faktoren zu identifizieren, die die prognostizierte Variable beeinflussen könnten. Zum Beispiel könnte der Verkauf von Sonnenschirmen mit Wetterbedingungen verbunden sein. Wenn die Ursachen verstanden werden, können Projektionen der Einflussgrößen in der Prognose erstellt und verwendet werden. Regressionsanalyse mittels linearer Regression oder nicht-linearer Regression Autoregressiver gleitender Durchschnitt (ARMA) Autoregressiver integrierter gleitender Durchschnitt (ARIMA) z. B. Box-Jenkins-Ökonometrie In der Statistik ist die Regressionsanalyse der Prozess, der verwendet wird, um die Parameterwerte einer Funktion zu schätzen, in der die Funktion den Wert einer Antwortvariable im Hinblick auf die Werte anderer Variablen vorhersagt. Es gibt viele Methoden entwickelt, um Funktionen zu passen und diese Methoden in der Regel abhängig von der Art der Funktion verwendet wird. Ein autoregressives integriertes Moving Average Modell (ARIMA) ist eine Verallgemeinerung eines autoregressiven Moving Average oder (ARMA) Modells. Diese Modelle sind an Zeitreihendaten angepasst, um die Daten besser zu verstehen oder zukünftige Punkte in der Serie vorherzusagen. Das Modell wird allgemein als ein ARIMA-Modell (p, d, q) bezeichnet, wobei p, d und q ganze Zahlen größer oder gleich Null sind und sich auf die Reihenfolge der autoregressiven, integrierten und bewegten mittleren Teile des Modells beziehen beziehungsweise. Weitere Informationen Data Mining Data Mining ist der Prozess der automatischen Suche nach großen Mengen von Daten für Muster. Es wird in der Regel von Unternehmen und anderen Organisationen verwendet, wird aber zunehmend in den Wissenschaften verwendet, um Informationen aus den riesigen Datensätzen zu extrahieren, die durch moderne Experimente erzeugt werden. Obwohl Data Mining ist ein relativ neuer Begriff, ist die Technologie nicht. Unternehmen haben seit langem leistungsstarke Computer verwendet, um Durchsuchung von Datenmengen wie Supermarkt Scanner-Daten und produzieren Marktforschungsberichte. Ununterbrochene Innovationen in der Computerverarbeitung Macht, Plattenspeicher und statistische Software drastisch erhöhen die Genauigkeit und Nützlichkeit der Analyse. Data Mining identifiziert Trends innerhalb von Daten, die über die einfache Analyse hinausgehen. Durch die Verwendung von anspruchsvollen Algorithmen haben die Benutzer die Möglichkeit, Schlüsselattribute von Geschäftsprozessen und Zielchancen zu identifizieren. Der Begriff Data Mining wird oft verwendet, um auf die beiden getrennten Prozesse der Wissensentdeckung und - vorhersage anzuwenden. Wissensentdeckung stellt explizite Informationen bereit, die eine lesbare Form haben und von einem Benutzer verstanden werden können. Die Prognose oder die prädiktive Modellierung liefert Vorhersagen zukünftiger Ereignisse und kann in einigen Ansätzen transparent sein und lesbar sein (z. B. auf Regeln basierende Systeme) und in anderen, wie z. B. neuronalen Netzwerken, undurchsichtig sein. Darüber hinaus sind einige Data-Mining-Systeme wie neuronale Netze inhärent auf Vorhersage statt Wissen Erkennung ausgerichtet. Weitere Informationen Data Cleansing Data Mining ist der Prozess der automatischen Suche nach großen Mengen von Daten für Muster. Es wird in der Regel von Unternehmen und anderen Organisationen verwendet, wird aber zunehmend in den Wissenschaften verwendet, um Informationen aus den riesigen Datensätzen zu extrahieren, die durch moderne Experimente erzeugt werden. Obwohl Data Mining ist ein relativ neuer Begriff, ist die Technologie nicht. Unternehmen haben seit langem leistungsstarke Computer verwendet, um Durchsuchung von Datenmengen wie Supermarkt Scanner-Daten und produzieren Marktforschungsberichte. Ununterbrochene Innovationen in der Computerverarbeitung Macht, Plattenspeicher und statistische Software drastisch erhöhen die Genauigkeit und Nützlichkeit der Analyse. Data Mining identifiziert Trends innerhalb von Daten, die über die einfache Analyse hinausgehen. Durch die Verwendung von anspruchsvollen Algorithmen haben die Benutzer die Möglichkeit, Schlüsselattribute von Geschäftsprozessen und Zielchancen zu identifizieren. Der Begriff Data Mining wird oft verwendet, um auf die beiden getrennten Prozesse der Wissensentdeckung und - vorhersage anzuwenden. Wissensentdeckung stellt explizite Informationen bereit, die eine lesbare Form haben und von einem Benutzer verstanden werden können. Die Prognose oder die prädiktive Modellierung liefert Vorhersagen zukünftiger Ereignisse und kann in einigen Ansätzen transparent sein und lesbar sein (z. B. auf Regeln basierende Systeme) und in anderen, wie z. B. neuronalen Netzwerken, undurchsichtig sein. Darüber hinaus sind einige Data-Mining-Systeme wie neuronale Netze inhärent auf Vorhersage statt Wissen Erkennung ausgerichtet. Mehr Infos Datenintegration Datenintegration ist der Prozess der Kombination von Daten, die sich an verschiedenen Quellen befinden und dem Benutzer eine einheitliche Sicht auf diese Daten bieten. Dieser Prozess entsteht in einer Vielzahl von Situationen sowohl kommerzielle (wenn zwei ähnliche Unternehmen müssen ihre Datenbanken zusammenführen) und wissenschaftliche (Kombination von Forschungsergebnissen aus verschiedenen Bioinformatik-Repositories). Datenintegration erscheint mit zunehmender Frequenz als das Volumen und die Notwendigkeit, vorhandene Daten explodiert zu teilen. Im Mittelpunkt umfangreicher theoretischer Arbeiten stehen zahlreiche offene Probleme, die noch gelöst werden müssen. In der Managementpraxis wird die Datenintegration häufig als Enterprise Information Integration bezeichnet. Verwendung von R für die Zeitreihenanalyse Zeitreihenanalyse In dieser Broschüre erfahren Sie, wie Sie die R-Statistiksoftware verwenden, um einige einfache Analysen durchzuführen, die bei der Analyse von Zeitreihendaten üblich sind. Diese Broschüre geht davon aus, dass der Leser über grundlegende Kenntnisse der Zeitreihenanalyse verfügt und der Schwerpunkt der Broschüre nicht darin besteht, die Zeitreihenanalyse zu erläutern, sondern vielmehr zu erläutern, wie diese Analysen mit R durchzuführen sind Analyse und möchte mehr über jedes der hier präsentierten Konzepte erfahren, würde ich empfehlen das Open University Buch 8220Time Serie8221 (Produkt-Code M24902), erhältlich von der Open University Shop. In dieser Broschüre werde ich Zeitreihen-Datensätze verwenden, die von Rob Hyndman in seiner Zeitreihen-Datenbibliothek bei robjhyndmanTSDL freundlicherweise zur Verfügung gestellt wurden. Wenn Sie diese Broschüre mögen, können Sie auch meine Broschüre über die Verwendung von R für die biomedizinische Statistik, a-little-book-of-r-for-biomedical-statistics. readthedocs. org, lesen. Und meine Broschüre über die Verwendung von R für multivariate Analyse, little-book-of-r-for-multivariate-analysis. readthedocs. org. Lesen von Zeitreihen-Daten Das erste, was Sie tun möchten, um Ihre Zeitreihen-Daten zu analysieren, ist, es in R zu lesen und die Zeitreihen zu zeichnen. Sie können Daten in R mit der Funktion scan () lesen, die davon ausgeht, dass sich Ihre Daten für aufeinanderfolgende Zeitpunkte in einer einfachen Textdatei mit einer Spalte befinden. Zum Beispiel enthält die Datei robjhyndmantsdldatamisckings. dat Daten über das Alter des Todes aufeinander folgender Könige von England, beginnend mit Wilhelm dem Eroberer (Originalquelle: Hipel und Mcleod, 1994). Der Datensatz sieht so aus: Es wurden nur die ersten Zeilen der Datei angezeigt. Die ersten drei Zeilen enthalten einen Kommentar zu den Daten, und wir wollen dies ignorieren, wenn wir die Daten in R lesen. Wir können dies verwenden, indem wir den Parameter 8220skip8221 der Funktion scan () verwenden, der angibt, wie viele Zeilen am Anfang von Die Datei zu ignorieren. Um die Datei in R zu lesen, ohne die ersten drei Zeilen zu ignorieren, geben wir ein: In diesem Fall wurde das Alter des Todes von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England in die Variable 8216kings8217 eingelesen. Sobald Sie die Zeitreihendaten in R gelesen haben, ist der nächste Schritt, die Daten in einem Zeitreihenobjekt in R zu speichern, so dass Sie R8217s viele Funktionen zur Analyse von Zeitreihendaten verwenden können. Um die Daten in einem Zeitreihenobjekt zu speichern, verwenden wir die Funktion ts () in R. Um beispielsweise die Daten in der Variablen 8216kings8217 als Zeitreihenobjekt in R zu speichern, geben wir Folgendes ein: Manchmal legen die Zeitreihendaten fest, Wurden in regelmäßigen Abständen erhoben, die weniger als ein Jahr betrugen, zum Beispiel monatlich oder vierteljährlich. In diesem Fall können Sie festlegen, wie oft die Daten pro Jahr gesammelt wurden, indem Sie den Parameter 8216frequency8217 in der Funktion ts () verwenden. Für monatliche Zeitreihendaten setzen Sie Frequenz 12, während für vierteljährliche Zeitreihendaten Frequenz4 eingestellt ist. Sie können auch das erste Jahr, in dem die Daten erfasst wurden, und das erste Intervall in diesem Jahr angeben, indem Sie den Parameter 8216start8217 in der Funktion ts () verwenden. Wenn beispielsweise der erste Datenpunkt dem zweiten Quartal 1986 entspricht, würden Sie startc (1986,2) setzen. Ein Beispiel ist ein Datensatz der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City, von Januar 1946 bis Dezember 1959 (ursprünglich von Newton gesammelt). Diese Daten sind in der Datei robjhyndmantsdldatadatanybirths. dat verfügbar. Wir können die Daten in R speichern und als Zeitreihenobjekt speichern, indem Sie folgendes eingeben: Ebenso enthält die Datei robjhyndmantsdldatadatafancy. dat monatliche Verkäufe für einen Souvenirladen an einem Strandort Queensland, Australien, für Januar 1987 bis Dezember 1993 (Originaldaten von Wheelwright und Hyndman, 1998). Wir können die Daten in R durch Eingabe lesen: Plotting Time Series Wenn Sie eine Zeitreihe in R gelesen haben, ist der nächste Schritt in der Regel eine Darstellung der Zeitreihendaten, die Sie mit der Funktion plot. ts () ausführen können In R. Zum Beispiel, um die Zeitreihen des Todesjahres von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England zu zeichnen, geben wir ein: Wir können aus dem Zeitplan sehen, dass diese Zeitreihe wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden könnte, da die zufälligen Schwankungen In den Daten sind über die Zeit grob konstant. Ebenso, um die Zeitreihe der Geburtenzahl pro Monat in New York City zu zeichnen, geben wir ein: Wir können aus dieser Zeitreihe sehen, dass es saisonale Schwankungen in der Anzahl der Geburten pro Monat zu sein scheint: es gibt einen Höhepunkt jeden Sommer , Und ein Trog jeden Winter. Wiederum scheint diese Zeitreihe wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben zu werden, da die saisonalen Schwankungen im Laufe der Zeit grob konstant sind und nicht vom Niveau der Zeitreihen abhängen und auch die zufälligen Schwankungen scheinen Ungefähr konstant in der Größe über Zeit. Ähnlich, um die Zeitreihen der monatlichen Verkäufe für die Souvenir-Shop an einem Strand Urlaubsort in Queensland, Australien, geben wir: In diesem Fall scheint es, dass ein additives Modell ist nicht geeignet für die Beschreibung dieser Zeitreihe, da die Größe Der saisonalen Schwankungen und zufälligen Schwankungen scheinen mit dem Niveau der Zeitreihen zu erhöhen. Daher müssen wir möglicherweise die Zeitreihen umwandeln, um eine transformierte Zeitreihe zu erhalten, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann. Zum Beispiel können wir die Zeitreihen durch Berechnen des natürlichen Protokolls der ursprünglichen Daten transformieren: Hier sehen wir, dass die Größe der jahreszeitlichen Schwankungen und zufälligen Schwankungen in den logarithmierten Zeitreihen ungefähr konstant über die Zeit scheinen und dies tun Nicht vom Niveau der Zeitreihen abhängen. Somit können die logarithmierten Zeitreihen mit einem additiven Modell beschrieben werden. Zerlegung der Zeitreihe Die Zerlegung einer Zeitreihe bedeutet, sie in ihre Bestandteile zu zerlegen, die üblicherweise eine Trendkomponente und eine unregelmäßige Komponente sind, und wenn es sich um eine saisonale Zeitreihe handelt, eine saisonale Komponente. Zerlegen von nicht saisonalen Daten Eine nicht saisonale Zeitreihe besteht aus einer Trendkomponente und einer unregelmäßigen Komponente. Das Zerlegen der Zeitreihen erfordert das Trennen der Zeitreihen in diese Komponenten, dh das Abschätzen der Trendkomponente und der unregelmäßigen Komponente. Zur Abschätzung der Trendkomponente einer nicht-saisonalen Zeitreihe, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann, ist es üblich, ein Glättungsverfahren zu verwenden, wie beispielsweise das Berechnen des einfachen gleitenden Durchschnitts der Zeitreihen. Die Funktion SMA () im Paket 8220TTR8221 R kann verwendet werden, um Zeitreihendaten mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt zu glätten. Um diese Funktion nutzen zu können, müssen wir zunächst das Paket 8220TTR8221 R installieren (Anweisungen zur Installation eines R-Pakets finden Sie unter R-Paket installieren). Sobald Sie das Paket 8220TTR8221 R installiert haben, können Sie das 8220TTR8221 R-Paket laden, indem Sie Folgendes eingeben: Sie können die Funktion 8220SMA () 8221 verwenden, um Zeitreihendaten zu glätten. Um die Funktion SMA () verwenden zu können, müssen Sie mit dem Parameter 8220n8221 die Reihenfolge (span) des einfachen gleitenden Mittels angeben. Um beispielsweise einen einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 5 zu berechnen, setzen wir n5 in die SMA () - Funktion. Zum Beispiel ist, wie oben diskutiert, die Zeitreihe des Todesjahres von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England nicht saisonal und kann wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden, da die zufälligen Fluktuationen in den Daten ungefähr konstant sind Zeit: So können wir versuchen, die Trendkomponente dieser Zeitreihe durch Glättung mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt abzuschätzen. Um die Zeitreihen mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 3 zu glätten und die geglätteten Zeitreihendaten zu zeichnen, geben wir ein: Es scheint immer noch eine Menge zufälliger Schwankungen in der Zeitreihe zu sein, die mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 3 geglättet wurden. Um die Trendkomponente genauer zu schätzen, möchten wir vielleicht versuchen, die Daten mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt höherer Ordnung zu glätten. Dies dauert ein wenig Trial-and-Error, um die richtige Menge an Glättung zu finden. Zum Beispiel können wir versuchen, einen einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 8 zu verwenden: Die Daten, die mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 8 geglättet wurden, vermitteln ein klareres Bild der Trendkomponente und wir können sehen, dass das Alter des Todes der englischen Könige scheint Haben von etwa 55 Jahren auf etwa 38 Jahre alt während der Regierungszeit der ersten 20 Könige gesunken und dann nach etwa 73 Jahren nach dem Ende der Herrschaft des 40. Königs in der Zeitreihe erhöht. Zerlegen saisonaler Daten Eine saisonale Zeitreihe besteht aus einer Trendkomponente, einer Saisonkomponente und einer unregelmäßigen Komponente. Das Zerlegen der Zeitreihe bedeutet, die Zeitreihe in diese drei Komponenten zu trennen, dh die drei Komponenten zu schätzen. Zur Abschätzung der Trendkomponente und der saisonalen Komponente einer saisonalen Zeitreihe, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann, können wir die Funktion 8220decompose () 8221 in R verwenden. Diese Funktion schätzt den Trend, die saisonalen und unregelmäßigen Komponenten einer Zeitreihe ab Kann mit einem additiven Modell beschrieben werden. Die Funktion 8220decompose () 8221 gibt als Ergebnis ein Listenobjekt zurück, wobei die Schätzungen der saisonalen Komponente, der Trendkomponente und der unregelmäßigen Komponente in benannten Elementen dieser Listenobjekte mit den Namen 8220seasonal8221, 8220trend8221 bzw. 8220random8221 gespeichert sind. Wie oben diskutiert, ist die Zeitreihe der Geburtenzahl pro Monat in New York City saisonal mit einem Höhepunkt jeden Sommer und Trog jeden Winter und kann wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden, da die saisonalen und zufälligen Fluktuationen scheinen Werden im Laufe der Zeit grob konstant: Zur Abschätzung der Trend-, Saison-und unregelmäßigen Komponenten dieser Zeitreihe, geben wir: Die Schätzwerte der saisonalen, Trend-und unregelmäßigen Komponenten sind nun in Variablen geburtsstundenspezifischeStrategien, GeburtstundensätzeKomponentenströmung und Geburtstundeneriescomponentsrandom gespeichert. Zum Beispiel können wir die Schätzwerte der Saisonkomponente ausdrucken, indem wir Folgendes eingeben: Die geschätzten saisonalen Faktoren werden für die Monate Januar-Dezember angegeben und sind für jedes Jahr dieselben. Der größte saisonale Faktor ist für Juli (ca. 1,46), und der niedrigste für Februar (ca. -2,08), was darauf hindeutet, dass es im Juli eine Geburtsspitze und im Februar jeden Jahres einen Tiefstand gibt. Mit der Funktion 8220plot () 8221 können wir beispielsweise die geschätzten Trend-, Saison - und unregelmäßigen Komponenten der Zeitreihen darstellen: Die obige Grafik zeigt die ursprüngliche Zeitreihe (oben), die geschätzte Trendkomponente (zweiter von oben), Die geschätzte saisonale Komponente (dritter von oben) und die geschätzte unregelmäßige Komponente (unten). Wir sehen, dass die geschätzte Trendkomponente eine kleine Abnahme von etwa 24 im Jahr 1947 auf etwa 22 im Jahr 1948, gefolgt von einem stetigen Anstieg von dann auf bis zu 27 im Jahr 1959 zeigt. Saisonbereinigt Wenn Sie eine saisonale Zeitreihen, die beschrieben werden können, haben Ein additives Modell, können Sie saisonale Anpassung der Zeitreihe durch die Schätzung der saisonalen Komponente und Subtraktion der geschätzten saisonalen Komponente aus der ursprünglichen Zeitreihe. Wir können dies anhand der Schätzung der Saisonkomponente durch die 8220decompose () 8221-Funktion berechnen. Um beispielsweise die Zeitreihe der Geburtenzahl pro Monat in New York City saisonal anzupassen, können wir die saisonale Komponente mit 8220decompose () 8221 schätzen und dann die saisonale Komponente aus der ursprünglichen Zeitreihe subtrahieren Saisonbereinigte Zeitreihen mit Hilfe der Funktion 8220plot () 8221: Sie können sehen, dass die saisonale Variation aus den saisonbereinigten Zeitreihen entfernt wurde. Die saisonbereinigte Zeitreihe enthält nun nur noch die Trendkomponente und eine unregelmäßige Komponente. Prognosen mit Exponentialglättung Die Exponentialglättung kann verwendet werden, um kurzfristige Prognosen für Zeitreihendaten zu erstellen. Einfache Exponentialglättung Wenn Sie eine Zeitreihe haben, die mit einem additiven Modell mit konstantem Niveau und ohne Saisonalität beschrieben werden kann, können Sie eine einfache exponentielle Glättung verwenden, um kurzfristige Prognosen zu erstellen. Das einfache exponentielle Glättungsverfahren bietet eine Möglichkeit, den Pegel zum aktuellen Zeitpunkt zu schätzen. Die Glättung wird durch den Parameter alpha für die Schätzung des Pegels zum aktuellen Zeitpunkt gesteuert. Der Wert von Alpha liegt zwischen 0 und 1. Werte von Alpha, die nahe bei 0 liegen, bedeuten, dass bei den Prognosen zukünftiger Werte wenig Gewicht auf die jüngsten Beobachtungen gelegt wird. Zum Beispiel enthält die Datei robjhyndmantsdldatahurstprecip1.dat den gesamten jährlichen Niederschlag in Inch für London, von 1813-1912 (Originaldaten von Hipel und McLeod, 1994). Wir können die Daten in R zu lesen und es durch Eingabe schreiben: Sie können aus der Handlung sehen, dass es etwa konstantes Niveau (die mittlere bleibt konstant bei etwa 25 Zoll). Die zufälligen Schwankungen in der Zeitreihe scheinen über die Zeit ungefähr konstant zu sein, so daß es wahrscheinlich geeignet ist, die Daten unter Verwendung eines additiven Modells zu beschreiben. So können wir mit einfachen exponentiellen Glättungen Prognosen erstellen. Um Prognosen mit Hilfe einer einfachen exponentiellen Glättung in R zu erstellen, können wir ein einfaches exponentielles Glättungsvorhersagemodell mit der Funktion 8220HoltWinters () 8221 in R platzieren. Um HoltWinters () zur einfachen exponentiellen Glättung zu verwenden, müssen wir die Parameter betaFALSE und gammaFALSE setzen HoltWinters () - Funktion (die Beta - und Gamma-Parameter werden für die exponentielle Glättung von Holt8217 oder die Exponentialglättung von Holt-Winters verwendet, wie nachfolgend beschrieben). Die Funktion HoltWinters () gibt eine Listenvariable zurück, die mehrere benannte Elemente enthält. Um beispielsweise eine einfache exponentielle Glättung zu verwenden, um Prognosen für die Zeitreihe des jährlichen Niederschlags in London zu erstellen, geben wir ein: Die Ausgabe von HoltWinters () sagt uns, dass der Schätzwert des Alpha-Parameters etwa 0,024 beträgt. Dies ist sehr nahe bei Null und sagt uns, dass die Prognosen auf jüngsten und weniger jüngsten Beobachtungen beruhen (obwohl etwas mehr Gewicht auf die jüngsten Beobachtungen gelegt wird). Standardmäßig erstellt HoltWinters () nur Prognosen für den gleichen Zeitraum, der von unseren ursprünglichen Zeitreihen abgedeckt ist. In diesem Fall umfassten unsere ursprünglichen Zeitreihen Regenfälle für London von 1813-1912, so dass die Prognosen auch für 1813-1912 sind. Im obigen Beispiel haben wir die Ausgabe der Funktion HoltWinters () in der Listenvariablen 8220rainseriesforecasts8221 gespeichert. Die von HoltWinters () erstellten Prognosen werden in einem benannten Element dieser Listenvariablen mit dem Namen 8220fitted8221 gespeichert, so dass wir ihre Werte durch Eingabe erhalten können: Wir können die ursprünglichen Zeitreihen gegen die Prognosen durch Eingabe schreiben: Das Diagramm zeigt die ursprüngliche Zeitreihe Schwarz und die Prognosen als rote Linie. Die Zeitreihen der Prognosen sind viel glatter als die Zeitreihen der ursprünglichen Daten hier. Als Maß für die Genauigkeit der Prognosen können wir die Summe der quadratischen Fehler für die In-Probe-Prognosefehler, dh die Prognosefehler für den Zeitraum, der durch unsere ursprünglichen Zeitreihen abgedeckt ist, berechnen. Die Summe von quadratischen Fehlern wird in einem benannten Element der Listenvariablen 8220rainseriesforecasts8221 mit dem Namen 8220SSE8221 gespeichert, sodass wir ihren Wert erhalten können, indem wir Folgendes eingeben: Das bedeutet, dass die Summe der quadratischen Fehler 1828.855 ist. In der einfachen exponentiellen Glättung ist es üblich, den ersten Wert in der Zeitreihe als Anfangswert für den Pegel zu verwenden. Beispielsweise ist in der Zeitreihe für Regen in London der erste Wert 23.56 (Zoll) für Niederschläge 1813. Sie können den Anfangswert für die Ebene in der Funktion HoltWinters () mit dem Parameter 8220l. start8221 angeben. Um beispielsweise Prognosen mit dem Anfangswert des auf 23.56 festgelegten Pegels vorzunehmen, geben wir Folgendes ein: Wie oben erläutert, macht HoltWinters () standardmäßig Prognosen für den Zeitraum, der von den ursprünglichen Daten abgedeckt wird, die für den Niederschlag 1813-1912 sind Zeitfolgen. Wir können Prognosen für weitere Zeitpunkte machen, indem wir die 8220forecast. HoltWinters () 8221-Funktion im Paket R 8220forecast8221 verwenden. Um die Funktion "forecast. HoltWinters () verwenden zu können, müssen wir zunächst das Paket 8220forecast8221 R installieren (Anweisungen zur Installation eines R-Pakets finden Sie unter R-Paket installieren). Once you have installed the 8220forecast8221 R package, you can load the 8220forecast8221 R package by typing: When using the forecast. HoltWinters() function, as its first argument (input), you pass it the predictive model that you have already fitted using the HoltWinters() function. For example, in the case of the rainfall time series, we stored the predictive model made using HoltWinters() in the variable 8220rainseriesforecasts8221. You specify how many further time points you want to make forecasts for by using the 8220h8221 parameter in forecast. HoltWinters(). For example, to make a forecast of rainfall for the years 1814-1820 (8 more years) using forecast. HoltWinters(), we type: The forecast. HoltWinters() function gives you the forecast for a year, a 80 prediction interval for the forecast, and a 95 prediction interval for the forecast. For example, the forecasted rainfall for 1920 is about 24.68 inches, with a 95 prediction interval of (16.24, 33.11). To plot the predictions made by forecast. HoltWinters(), we can use the 8220plot. forecast()8221 function: Here the forecasts for 1913-1920 are plotted as a blue line, the 80 prediction interval as an orange shaded area, and the 95 prediction interval as a yellow shaded area. The 8216forecast errors8217 are calculated as the observed values minus predicted values, for each time point. We can only calculate the forecast errors for the time period covered by our original time series, which is 1813-1912 for the rainfall data. As mentioned above, one measure of the accuracy of the predictive model is the sum-of-squared-errors (SSE) for the in-sample forecast errors. The in-sample forecast errors are stored in the named element 8220residuals8221 of the list variable returned by forecast. HoltWinters(). If the predictive model cannot be improved upon, there should be no correlations between forecast errors for successive predictions. In other words, if there are correlations between forecast errors for successive predictions, it is likely that the simple exponential smoothing forecasts could be improved upon by another forecasting technique. To figure out whether this is the case, we can obtain a correlogram of the in-sample forecast errors for lags 1-20. We can calculate a correlogram of the forecast errors using the 8220acf()8221 function in R. To specify the maximum lag that we want to look at, we use the 8220lag. max8221 parameter in acf(). For example, to calculate a correlogram of the in-sample forecast errors for the London rainfall data for lags 1-20, we type: You can see from the sample correlogram that the autocorrelation at lag 3 is just touching the significance bounds. To test whether there is significant evidence for non-zero correlations at lags 1-20, we can carry out a Ljung-Box test. This can be done in R using the 8220Box. test()8221, function. The maximum lag that we want to look at is specified using the 8220lag8221 parameter in the Box. test() function. For example, to test whether there are non-zero autocorrelations at lags 1-20, for the in-sample forecast errors for London rainfall data, we type: Here the Ljung-Box test statistic is 17.4, and the p-value is 0.6, so there is little evidence of non-zero autocorrelations in the in-sample forecast errors at lags 1-20. To be sure that the predictive model cannot be improved upon, it is also a good idea to check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. To check whether the forecast errors have constant variance, we can make a time plot of the in-sample forecast errors: The plot shows that the in-sample forecast errors seem to have roughly constant variance over time, although the size of the fluctuations in the start of the time series (1820-1830) may be slightly less than that at later dates (eg. 1840-1850). To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero, we can plot a histogram of the forecast errors, with an overlaid normal curve that has mean zero and the same standard deviation as the distribution of forecast errors. To do this, we can define an R function 8220plotForecastErrors()8221, below: You will have to copy the function above into R in order to use it. You can then use plotForecastErrors() to plot a histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors for the rainfall predictions: The plot shows that the distribution of forecast errors is roughly centred on zero, and is more or less normally distributed, although it seems to be slightly skewed to the right compared to a normal curve. However, the right skew is relatively small, and so it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero. The Ljung-Box test showed that there is little evidence of non-zero autocorrelations in the in-sample forecast errors, and the distribution of forecast errors seems to be normally distributed with mean zero. This suggests that the simple exponential smoothing method provides an adequate predictive model for London rainfall, which probably cannot be improved upon. Furthermore, the assumptions that the 80 and 95 predictions intervals were based upon (that there are no autocorrelations in the forecast errors, and the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance) are probably valid. Holt8217s Exponential Smoothing If you have a time series that can be described using an additive model with increasing or decreasing trend and no seasonality, you can use Holt8217s exponential smoothing to make short-term forecasts. Holt8217s exponential smoothing estimates the level and slope at the current time point. Smoothing is controlled by two parameters, alpha, for the estimate of the level at the current time point, and beta for the estimate of the slope b of the trend component at the current time point. As with simple exponential smoothing, the paramters alpha and beta have values between 0 and 1, and values that are close to 0 mean that little weight is placed on the most recent observations when making forecasts of future values. An example of a time series that can probably be described using an additive model with a trend and no seasonality is the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911. The data is available in the file robjhyndmantsdldatarobertsskirts. dat (original data from Hipel and McLeod, 1994). We can read in and plot the data in R by typing: We can see from the plot that there was an increase in hem diameter from about 600 in 1866 to about 1050 in 1880, and that afterwards the hem diameter decreased to about 520 in 1911. To make forecasts, we can fit a predictive model using the HoltWinters() function in R. To use HoltWinters() for Holt8217s exponential smoothing, we need to set the parameter gammaFALSE (the gamma parameter is used for Holt-Winters exponential smoothing, as described below). For example, to use Holt8217s exponential smoothing to fit a predictive model for skirt hem diameter, we type: The estimated value of alpha is 0.84, and of beta is 1.00. These are both high, telling us that both the estimate of the current value of the level, and of the slope b of the trend component, are based mostly upon very recent observations in the time series. This makes good intuitive sense, since the level and the slope of the time series both change quite a lot over time. The value of the sum-of-squared-errors for the in-sample forecast errors is 16954. We can plot the original time series as a black line, with the forecasted values as a red line on top of that, by typing: We can see from the picture that the in-sample forecasts agree pretty well with the observed values, although they tend to lag behind the observed values a little bit. If you wish, you can specify the initial values of the level and the slope b of the trend component by using the 8220l. start8221 and 8220b. start8221 arguments for the HoltWinters() function. It is common to set the initial value of the level to the first value in the time series (608 for the skirts data), and the initial value of the slope to the second value minus the first value (9 for the skirts data). For example, to fit a predictive model to the skirt hem data using Holt8217s exponential smoothing, with initial values of 608 for the level and 9 for the slope b of the trend component, we type: As for simple exponential smoothing, we can make forecasts for future times not covered by the original time series by using the forecast. HoltWinters() function in the 8220forecast8221 package. For example, our time series data for skirt hems was for 1866 to 1911, so we can make predictions for 1912 to 1930 (19 more data points), and plot them, by typing: The forecasts are shown as a blue line, with the 80 prediction intervals as an orange shaded area, and the 95 prediction intervals as a yellow shaded area. As for simple exponential smoothing, we can check whether the predictive model could be improved upon by checking whether the in-sample forecast errors show non-zero autocorrelations at lags 1-20. For example, for the skirt hem data, we can make a correlogram, and carry out the Ljung-Box test, by typing: Here the correlogram shows that the sample autocorrelation for the in-sample forecast errors at lag 5 exceeds the significance bounds. However, we would expect one in 20 of the autocorrelations for the first twenty lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. Indeed, when we carry out the Ljung-Box test, the p-value is 0.47, indicating that there is little evidence of non-zero autocorrelations in the in-sample forecast errors at lags 1-20. As for simple exponential smoothing, we should also check that the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero. We can do this by making a time plot of forecast errors, and a histogram of the distribution of forecast errors with an overlaid normal curve: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors have roughly constant variance over time. The histogram of forecast errors show that it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Thus, the Ljung-Box test shows that there is little evidence of autocorrelations in the forecast errors, while the time plot and histogram of forecast errors show that it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Therefore, we can conclude that Holt8217s exponential smoothing provides an adequate predictive model for skirt hem diameters, which probably cannot be improved upon. In addition, it means that the assumptions that the 80 and 95 predictions intervals were based upon are probably valid. Holt-Winters Exponential Smoothing If you have a time series that can be described using an additive model with increasing or decreasing trend and seasonality, you can use Holt-Winters exponential smoothing to make short-term forecasts. Holt-Winters exponential smoothing estimates the level, slope and seasonal component at the current time point. Smoothing is controlled by three parameters: alpha, beta, and gamma, for the estimates of the level, slope b of the trend component, and the seasonal component, respectively, at the current time point. The parameters alpha, beta and gamma all have values between 0 and 1, and values that are close to 0 mean that relatively little weight is placed on the most recent observations when making forecasts of future values. An example of a time series that can probably be described using an additive model with a trend and seasonality is the time series of the log of monthly sales for the souvenir shop at a beach resort town in Queensland, Australia (discussed above): To make forecasts, we can fit a predictive model using the HoltWinters() function. For example, to fit a predictive model for the log of the monthly sales in the souvenir shop, we type: The estimated values of alpha, beta and gamma are 0.41, 0.00, and 0.96, respectively. The value of alpha (0.41) is relatively low, indicating that the estimate of the level at the current time point is based upon both recent observations and some observations in the more distant past. The value of beta is 0.00, indicating that the estimate of the slope b of the trend component is not updated over the time series, and instead is set equal to its initial value. This makes good intuitive sense, as the level changes quite a bit over the time series, but the slope b of the trend component remains roughly the same. In contrast, the value of gamma (0.96) is high, indicating that the estimate of the seasonal component at the current time point is just based upon very recent observations. As for simple exponential smoothing and Holt8217s exponential smoothing, we can plot the original time series as a black line, with the forecasted values as a red line on top of that: We see from the plot that the Holt-Winters exponential method is very successful in predicting the seasonal peaks, which occur roughly in November every year. To make forecasts for future times not included in the original time series, we use the 8220forecast. HoltWinters()8221 function in the 8220forecast8221 package. For example, the original data for the souvenir sales is from January 1987 to December 1993. If we wanted to make forecasts for January 1994 to December 1998 (48 more months), and plot the forecasts, we would type: The forecasts are shown as a blue line, and the orange and yellow shaded areas show 80 and 95 prediction intervals, respectively. We can investigate whether the predictive model can be improved upon by checking whether the in-sample forecast errors show non-zero autocorrelations at lags 1-20, by making a correlogram and carrying out the Ljung-Box test: The correlogram shows that the autocorrelations for the in-sample forecast errors do not exceed the significance bounds for lags 1-20. Furthermore, the p-value for Ljung-Box test is 0.6, indicating that there is little evidence of non-zero autocorrelations at lags 1-20. We can check whether the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero, by making a time plot of the forecast errors and a histogram (with overlaid normal curve): From the time plot, it appears plausible that the forecast errors have constant variance over time. From the histogram of forecast errors, it seems plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero. Thus, there is little evidence of autocorrelation at lags 1-20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time. This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon. Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series. However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series ARIMA models are defined for stationary time series. Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to 8216difference8217 the time series until you obtain a stationary time series. If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA(p, d,q) model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the 8220diff()8221 function in R. For example, the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time: We can difference the time series (which we stored in 8220skirtsseries8221, see above) once, and plot the differenced series, by typing: The resulting time series of first differences (above) does not appear to be stationary in mean. Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series: Formal tests for stationarity Formal tests for stationarity called 8220unit root tests8221 are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences (above) does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time. Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA(p, d,q) model for your time series, where d is the order of differencing used. For example, for the time series of the diameter of women8217s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing (d) is 2. This means that you can use an ARIMA(p,2,q) model for your time series. The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England (see above): From the time plot (above), we can see that the time series is not stationary in mean. To calculate the time series of first differences, and plot it, we type: The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA(p,1,q) model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England. By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component. We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA(p, d,q) model. To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions in R, respectively. To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set 8220plotFALSE8221 in the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type: We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 (-0.360) exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the 8220pacf()8221 function, by typing: The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag (lag 1: -0.360, lag 2: -0.335, lag 3:-0.321). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3. Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA (autoregressive moving average) models are possible for the time series of first differences: an ARMA(3,0) model, that is, an autoregressive model of order p3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(0,1) model, that is, a moving average model of order q1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero an ARMA(p, q) model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero (although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate) We use the principle of parsimony to decide which model is best: that is, we assume that the model with the fewest parameters is best. The ARMA(3,0) model has 3 parameters, the ARMA(0,1) model has 1 parameter, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, the ARMA(0,1) model is taken as the best model. An ARMA(0,1) model is a moving average model of order 1, or MA(1) model. This model can be written as: Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where Xt is the stationary time series we are studying (the first differenced series of ages at death of English kings), mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA (moving average) model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut: the auto. arima() function The auto. arima() function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg. type 8220library(forecast)8221, then 8220auto. arima(kings)8221. The output says an appropriate model is ARIMA(0,1,1). Since an ARMA(0,1) model (with p0, q1) is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA(0,1,1) model (with p0, d1, q1, where d is the order of differencing required). Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere Let8217s take another example of selecting an appropriate ARIMA model. The file file robjhyndmantsdldataannualdvi. dat contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 (original data from Hipel and Mcleod, 1994). This is a measure of the impact of volcanic eruptions8217 release of dust and aerosols into the environment. We can read it into R and make a time plot by typing: From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time. Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series (the order of differencing required, d, is zero here). We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use: We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3. The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag (lag 1: 0.666, lag 2: 0.374, lag 3: 0.162). The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds (especially for lag 19), the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds (0.666), while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds (-0.126). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2. Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series: an ARMA(2,0) model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2 an ARMA(0,3) model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(p, q) mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero (although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate) Shortcut: the auto. arima() function Again, we can use auto. arima() to find an appropriate model, by typing 8220auto. arima(volcanodust)8221, which gives us ARIMA(1,0,2), which has 3 parameters. However, different criteria can be used to select a model (see auto. arima() help page). If we use the 8220bic8221 criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA(2,0,0), which is ARMA(2,0): 8220auto. arima(volcanodust, ic8221bic8221)8221. The ARMA(2,0) model has 2 parameters, the ARMA(0,3) model has 3 parameters, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA(2,0) model and ARMA(p, q) model are equally good candidate models. An ARMA(2,0) model is an autoregressive model of order 2, or AR(2) model. This model can be written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Xt is the stationary time series we are studying (the time series of volcanic dust veil index), mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR (autoregressive) model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA(2,0) model (with p2, q0) is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA(2,0,0) model can be used (with p2, d0, q0, where d is the order of differencing required). Similarly, if an ARMA(p, q) mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA(p,0,q) model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model Once you have selected the best candidate ARIMA(p, d,q) model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA(p, d,q) model using the 8220arima()8221 function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, we discussed above that an ARIMA(0,1,1) model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England. You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the 8220order8221 argument of the 8220arima()8221 function in R. To fit an ARIMA(p, d,q) model to this time series (which we stored in the variable 8220kingstimeseries8221, see above), we type: As mentioned above, if we are fitting an ARIMA(0,1,1) model to our time series, it means we are fitting an an ARMA(0,1) model to the time series of first differences. An ARMA(0,1) model can be written Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where theta is a parameter to be estimated. From the output of the 8220arima()8221 R function (above), the estimated value of theta (given as 8216ma18217 in the R output) is -0.7218 in the case of the ARIMA(0,1,1) model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals You can specify the confidence level for prediction intervals in forecast. Arima() by using the 8220level8221 argument. For example, to get a 99.5 prediction interval, we would type 8220forecast. Arima(kingstimeseriesarima, h5, levelc(99.5))8221. We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the 8220forecast. Arima()8221 function in the 8220forecast8221 R package. For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type: The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings. The forecast. Arima() function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings (kings 43-47), as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions. The age of death of the 42nd English king was 56 years (the last observed value in our time series), and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67.8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA(0,1,1) model, by typing: As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA(0,1,1) model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing: Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0.9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20. To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors: The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time (though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series). The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero. Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA(0,1,1) does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA(2,0,0) model. To fit an ARIMA(2,0,0) model to this time series, we can type: As mentioned above, an ARIMA(2,0,0) model can be written as: written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated. The output of the arima() function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0.7533 and -0.1268 here (given as ar1 and ar2 in the output of arima()). Now we have fitted the ARIMA(2,0,0) model, we can use the 8220forecast. ARIMA()8221 model to predict future values of the volcanic dust veil index. The original data includes the years 1500-1969. To make predictions for the years 1970-2000 (31 more years), we type: We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing: One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima() and forecast. Arima() functions don8217t know that the variable can only take positive values. Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance. To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test: The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds. However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds. Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0.2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20. To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time. However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean. We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0.22: The histogram of forecast errors (above) shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve. Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA(2,0,0) model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon Links and Further Reading Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the 8220Kickstarting R8221 website, cran. r-project. orgdoccontribLemon-kickstart . There is another nice (slightly more in-depth) tutorial to R available on the 8220Introduction to R8221 website, cran. r-project. orgdocmanualsR-intro. html . You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage . To learn about time series analysis, I would highly recommend the book 8220Time series8221 (product code M24902) by the Open University, available from the Open University Shop . There are two books available in the 8220Use R8221 series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. Acknowledgements I am grateful to Professor Rob Hyndman. for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library (TSDL) in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, 8220Time series8221 (product code M24902), available from the Open University Shop . Thank you to Ravi Aranke for bringing auto. arima() to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors(). Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me (Avril Coghlan) corrections or suggestions for improvements to my email address alc 64 sanger 46 ac 46 uk